“El libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje de las matemáticas” (Galileo)
“Ninguna teoría física que se ocupe solo de física explicará nunca la física” (John Wheeler)
“El reto de la física es explicar cómo funciona la conciencia” (Roger Penrose)
La Física Matemática
La física es geometría. El universo geométrico
Que existe una estrecha relación entre el universo físico y la geometría fue intuida desde siempre. Pero fue en el siglo XX cuando se dio forma a esta idea, principalmente por autores como Einstein, Dirac, Schrödinger y John Wheeler, que afirmaban que el universo es una estructura geométrica, por lo que la física es geometría.
“Lo que observamos como cuerpos materiales y fuerzas no son más que formas y variaciones en la estructura del espacio” (Erwin Schrödinger).
“No hay en el mundo nada más que espacio curvo y vacío. La materia, la carga, el electromagnetismo y otros campos son solo manifestaciones de la curvatura del espacio. La física es geometría” (John Wheeler).
La geometrización formal de la física fue iniciada por Einstein, que utilizó la geometría de Riemann en su teoría de la relatividad general. Para Einstein, espacio y tiempo están unidos (en una entidad que llamó “espacio-tiempo”), y la gravedad es una consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo. La geometría de Riemann es una geometría local, no lineal, de espacios curvos de cualquier número de dimensiones, basada en el concepto de variedad (manifold).
Una variedad es un objeto geométrico que generaliza la noción intuitiva de curva, de superficie y en general de la forma de cualquier objeto geométrico de dimensión n. La dimensión de una variedad es el número de parámetros independientes que se necesitan para situar localmente a un punto sobre la variedad. Las curvas son de dimensión 1, las superficies son de dimensión 2, etc.
Una variedad se puede visualizar como un conjunto de elementos infinitamente pequeños sin curvatura. Por ejemplo, una curva se puede considerar es un conjunto de diminutos segmentos rectos, y una superficie se puede considerar un conjunto de planos diminutos.
Kaluza y Klein añadieron a las ecuaciones de Einstein de la relatividad general (el tensor geométrico de Riemann) una quinta dimensión geométrica que explicaba el electromagnetismo.
La moderna teoría de las cuerdas de la mecánica cuántica es una teoría geométrica. Las partículas son cuerdas (branas o bucles) diminutas que vibran en el espacio de 11 ó 12 dimensiones, 11 dimensiones en la teoría M (de “madre”), desarrollada por Edward Witten en 1994), y 12 en la teoría F (de “Father”, padre), de Cumrun Vafa. La teoría M contempla una dimensión tiempo y la teoría F incluye dos dimensiones temporales.
Se suele afirmar que la teoría de cuerdas es la mejor posicionada para la TdT (“Teoría de Todo”, una teoría que unifique la relatividad y la mecánica cuántica. El problema es que la matemática que utiliza es extremadamente compleja y una TdT tiene que ser necesariamente simple.
La física es simetría
La simetría es un aspecto clave de la estética, de la armonía, del encaje entre los elementos de un sistema. En Física se identifica como el fundamento de todas las leyes de la naturaleza. De hecho, muchas leyes físicas se pueden deducir a partir de requerimientos de simetría que deben de obedecer dichas leyes. La simetría es la forma que utiliza la naturaleza para lograr una máxima economía, la simplicidad.
En relatividad especial, existe simetría en las leyes físicas, pues son las mismas independientemente del movimiento relativo (a velocidad constante) entre diferentes observadores (sistemas inerciales). En relatividad general, el principio de equivalencia asocia simetría entre gravedad y aceleración.
La cuatro fuerzas de la naturaleza (electromagnética, gravitatoria, nuclear fuerte y nuclear débil) están directamente relacionadas con los principios de simetría.
La supersimetría (supersymmetry, abreviadamente “SUSY”), un concepto surgido de la teoría de las cuerdas, es una simetría más abstracta que relaciona las propiedades de las partículas con los valores de espín, una propiedad intrínseca (como la masa o la carga eléctrica) asociada al giro de una partícula sobre sí misma.
El teorema de Emmy Noether, formulado en 1915, fusionó simetría y conservación, como dos facetas de una misma propiedad. Afirma lo siguiente: A cada simetría continua de las leyes físicas corresponde una ley de conservación y viceversa. Una simetría continua es la que procede de transformaciones que pueden variar de forma continua (por ejemplo, las traslaciones y rotaciones). Por ejemplo: bajo traslaciones, se conserva el momento; bajo el paso del tiempo, se conserva la energía; bajo rotaciones, se conserva el momento angular.
La simetría está asociada al concepto matemático de grupo.
La matemática como metáfora del mundo físico
Los científicos cognitivos George Lakoff y Rafel Núñez [2001] sostienen que las matemáticas son metáforas mentales derivadas de conceptos del mundo físico. Por ejemplo: los números se corresponden con conjuntos o colecciones de objetos, las figuras geométricas se corresponden con los objetos en el espacio, las funciones son conjuntos de pares ordenados o curvas en el plano cartesiano, etc.
Cada concepto matemático se corresponde con una metáfora cognitiva del mundo real.
Las matemáticas son el resultado del aparato cognitivo humano y, por lo tanto, deben entenderse en términos cognitivos.
Una matemática de tipo platónico, trascendente, independiente del pensamiento humano es una cuestión sin sentido o sin respuesta.
Los objetos matemáticos existen solo como instancias particulares de conceptos en nuestros cerebros.
Para Saunders MacLane [1986] −creador, junto con Samuel Eilenberg, de la Teoría de Categorías− los conceptos matemáticos se fundamentan en las actividades humanas ordinarias, principalmente interacciones con el mundo físico.
MENTAL,un Lenguaje para la Física
Características
Paradigmas.
Cualquiera que sea la interpretación de la realidad física (matemática, computacional, geométrica o pregeométrica), MENTAL es un lenguaje completo que permite expresar todos estos paradigmas, por ser un lenguaje operativo y descriptivo. La ciencia está restringida por la matemática actual, que es de tipo superficial (por estar débilmente fundamentada) y carecer de un lenguaje que cubra dichos aspectos (operativo y descriptivo).
Arquetipos.
La física es una manifestación de leyes profundas. En este sentido, MENTAL es un lenguaje muy adecuado para la física, al basarse en arquetipos, en conceptos universales, facilitando así el descubrimiento de la interrelación profunda entre todos los fenómenos de la naturaleza.
La matemática no es una metáfora del mundo físico. Matemática, mundo físico y mundo mental comparten los mismos arquetipos.
Geometría abstracta.
MENTAL va más allá, en su nivel de abstracción, que el álgebra geométrica, que muchos autores consideran el lenguaje de la física, al identificar física con geometría. MENTAL fundamenta la geometría abstracta, la tradicional (euclídea) y otras geometrías alternativas basadas en el concepto de espacio abstracto.
Simplicidad.
Cuando los matemáticos desarrollan teorías abstractas, siempre tratan de perseguir (consciente o inconscientemente) la máxima belleza y la simplicidad. ¿Por qué?. Pues porque a medida que nos aproximamos al Campo Unificado, aumenta el orden, la simplicidad y la conciencia. Como a nivel profundo hay simplicidad, MENTAL es el lenguaje más adecuado para expresar la simplicidad, por ser un lenguaje simple.
La naturaleza utiliza las formas y leyes más simples, y por lo tanto, más profundas y universales, de máxima conciencia.
Niveles de realidad.
El mundo físico es una manifestación, particularización o proyección del mundo matemático, pero el mundo físico no es equivalente al mundo matemático, es un mundo inferior. Pretender afirmar (como sostiene Max Tegmark) que mundo físico y mundo matemático son la misma cosa es confundir los niveles de la realidad.
Simetría.
¿Por qué la simetría juega un papel tan importante en física? Porque la simetría es simplicidad y eficiencia, y la simplicidad es conciencia porque une los opuestos. MENTAL es un lenguaje de primitivas con simetría (son pares de opuestos o duales).
Es más fácil abordar los temas de simetría física mediante un lenguaje basado en simetrías conceptuales (conceptos duales).
Bibliografía
Barrow, John David. ¿Por qué el mundo es matemático? Grijalbo, 1997.
Borovik, Alexandre. Mathematics under the microscope. American Mathematical Society, 2009. Disponible en Internet.
Courant, Richard; Robbins, Herbert. ¿Qué es la matemática?. Aguilar, 1967.
Eckardt, Horst; Felker, Laurence G. Einstein, Carta y Evans. ¿Inicio de una Nueva Era en física? Internet, 2005.
Hamming, Richard. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics. The American Mathematical Monthly 87 (2), 1980. Internet.
Hersh, Reuben. What is Mathematics, really?. Oxford University Press (USA), 1999.
Lakoff, George; Núñez, Rafael. Where Mathematics Come From. How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being. Basic Books, 2001.
MacLane, Saunders. Mathematics: Form and Function. Springer Verlag, 1986.
Putnam, Hilary. What is Mathematical Truth? Historia Mathematica 2: 529–543, 1975.
Sarukkai, Sundar. Revisiting the ”unreasonable effectiveness” of mathematics. Current Science, 88 (3), 10 Feb. 2005. Disponible online.
Wigner, Eugene P. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. Communications in Pure and Applied Mathematics, 13 (1): 1-14, Feb. 1960). John Wiley & Sons. Disponible online.
Wigner, Eugene P. Symmetries and Reflections. MIT Press, Cambridge, 1967.
